مہجہرد إنہسہآن
ادارة الموقع
حل معادلات الدرجة الثانية في متغير واحد بطريقة إكمال المربع
الصورة العامة لها هي : أ س^2 + ب س + ج = صفر
خطوات الحل
أولاً : نجعل الحد الثابت ( المطلق) في طرف والمتغيرات في الطرف الأخر
ثانياً :نجعل معامل س^ = 1 وذلك بالقسمة عليه
ثالثاً : نضيف مربع نضيف معامل س للطرفين
رابعاً : نحلل الطرف الأيمن كمقدار ثلاثي مربع كامل على صورة ( س + ثابت ) ^2
خامساً : نأخذ الجدر التربيعي للطرفين فينتج لنا معادلتان .
سادساً : نكمل حل المعادلتين كلاً على حده فنحصل على حلين
مثال (1) جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع2س^2 + 4س – 16 = صفر
بإضافة + 16 للطرفين2س^2 + 4س = 16
بالقسمة على معامل س^2 وهو 2 س^2 + 2س = 8
معامل س = 2 نصفه =1 مربعه =1
بإضافة 1 للطرفين س^2 + 2س + 1= 8 + 1
نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2 ( س + 1 )^2 = 9
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان
هما ( س + 1 )^2 = 9 س + 1 = 3
بإضافة -1 للطرفين س = 2 أو س + 1 = -3
بإضافة -1 للطرفين س = -4 مجموعة الحل : { 2 ، -4}
مثال (2) جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع س^2 - 8س + 15 = صفر
بإضافة -15 للطرفينس^2 - 8س = -15
معامل س = -8 نصفه = -4 مربعه = 16 س^2 - 8س + 16 = -15 + 16
نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2 ( س - 4 )^2 = -15 + 16 ( س - 4 )^2 = 1
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما
س – 4 = 1 بإضافة +4 للطرفين س = 5 أو س – 4 = - 1
بإضافة +4 للطرفين س = 3 مجموعة الحل = { 5 ، 3 }
مثال (3) جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع س^2 - 4س = 12
معامل س = -4 نصفه = -2 مربعه = 4
س^2 - 4س + 4 = 12 + 4
نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2 ( س - 2 )^2 = 12 + 4( س - 2 )^2 = 16
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما
س - 2 = 4 بإضافة + 2 للطرفين س = 6
أو س - 2 = -4 بإضافة + 2 للطرفين س = -2
مجموعة الحل = { 6 ، -2 }
تطبيق : جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع 4س^2 - 16س + 12 = صفر
بإضافة - 12 للطرفين4س^2 - 16س = -12
بالقسمة على معامل س2 وهو 4 س^2 - 4س = -3
معامل س = -4 نصفه = -2 مربعه = 4
س^2 - 4س + 4 = -3 + 4
نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2 ( س - 2 )^2 = 1
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما
س - 2 = 1 بإضافة + 2 للطرفين س = 3
أو س - 2 = -1 بإضافة + 2 للطرفين س = 1
مجموعة الحل = { 3 ، 1 }
تطبيق : جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع
3س^2 + 12س + 12 = صفر
بإضافة - 12 للطرفين3س^2 + 12س = -12
بالقسمة على معامل س2 وهو 3 س^2 + 4س = -4
معامل س = 4 نصفه = 2 مربعه = 4
س^2 + 4س + 4 = -4 + 4
نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2 ( س + 2 )^2 = صفر
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما
س + 2 = صفر بإضافة + 2 للطرفين س = -2
مجموعة الحل = { -2 }
ملاحظة :
المعادلة السابقة لها حلان متشابهان هما -2 و –2ويكتفى بكتابة حل واحد فقط . ( لماذا ؟ )
تطبيق :
جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع2س^2 - 12س + 20 = صفر
بإضافة - 20 للطرفين2س^2 - 12س = -20
بالقسمة على معامل س2 وهو 2 س^2 - 6س = -10
معامل س = -6 نصفه = -3 مربعه = 9
س^2 - 6س + 9 = -10 + 9
نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2 ( س - 3 )^2 = -1
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا أن المعادلة مستحيلة الحل
شرح آخر :
* الصّورة العامّة للاقتران التربيعي:
قطع مكافئ... يلزمني لأرسمه رسماً تقريبياً:
معرفة إحداثيات نقطة الرأس، وهل فتحة القطع لأعلى أم لأسفل.
1- الإحداث السّيني لنقطة الرأس =
2- بعد أن أجد قيمة س نقطة الرأس أعوّضها في المعادلة المُعطاة؛ فأجد ص نقطة الرأس.
3- أعيّن نقطة الرأس الناتجة معي على المستوى الديكارتي.
4- أنظر إلى أ في المعادلة المُعطاة؛ فإذا كانت موجبة أجعل فتحة القطع لأعلى، وإذا كانت سالبة تكون فتحة القطع لأسفل.
جرّب أن تجد بنفسك إحداثيات نقطة الرأس، واتجاه فتحة القطع... من المُعادلة.
** علينا معرفة ما يلي جيّداً:
! - يكون لكل قطع مكافئ نقطة تقسم منحناه إلى نصفين متماثلين وتسمى هذه النقطة رأس القطع، الإحداث السّيني لها هو: س =
وأجد الإحداث الصّادي لها بتعويض س في المعادلة المعطاة.
ب - ينتهي محور تماثل القطع المكافئ في نقطة رأسه لذلك نسمّيها نقطة نهاية عظمى (إذا كانت فتحة القطع لأسفل - كالجبل) أو صغرى (إذا كانت فتحة القطع لأعلى - كالقاع).
أ - يوجد لكل قطع مكافئ محور تماثل يقسمه إلى نصفين متماثلين؛ معادلته: س =
وإن كانت إحداثيات نقطة الرّأس معلومة نأخذ س نقطة الرّأس. س=س نقطة الرّأس.
د- لأجد نقاط تقاطع الاقتران مع محور الصّادات أعوّض س = صفر في المعادلة المُعطاة.
هـ- حلول، أو أصفار، أو جذور المعادلة (الاقتران) هي نقاط تقاطع القطع المكافىء مع محور السّينات (ص = صفر) فإذا كان المميّز موجب نقول أنّ للاقتران جذران مختلفان أي أنّه يقطع محور السّينات في نقطتين، وإذا كان المميّز صفراً يكون للاقتران جذران متساويان (تجاوزاً نقول: جذر واحد) أي أنّه يقطع محور السّينات في نقطة واحدة هي نقطة الرأس، أي أنّ قيمة الجذر =
وهي الإحداث السّيني لنقطة الرأس، وإذا كان المميّز سالباً نقول أنه لا يوجد جذور حقيقيّة للاقتران وبيانياً لا يقطع الاقتران محور السّينات.
تدريب:
أستخرج من الرّسوم التالية:
1- نقاط التقاطع مع محور ص
2- نقاط التقاطع مع محور س
3- إحداثيات نقطة الرأس.
4- معادلة محور التماثل
و- ليكون التمثيل البياني أكثر دقة أفترض نقاطاً سينيّة على يمين ويسار الإحداث السّيني لنقطة الرّأس وأعوّضها في المعادلة المعطاة لأجد ص لها، ثمّ أعيّن الأزواج المرتبة الناتجة من الفرض والتعويض على المستوى الديكارتي وأصل بينها جميعاً. أمثلة بالرّسم:
الصورة العامة لها هي : أ س^2 + ب س + ج = صفر
خطوات الحل
أولاً : نجعل الحد الثابت ( المطلق) في طرف والمتغيرات في الطرف الأخر
ثانياً :نجعل معامل س^ = 1 وذلك بالقسمة عليه
ثالثاً : نضيف مربع نضيف معامل س للطرفين
رابعاً : نحلل الطرف الأيمن كمقدار ثلاثي مربع كامل على صورة ( س + ثابت ) ^2
خامساً : نأخذ الجدر التربيعي للطرفين فينتج لنا معادلتان .
سادساً : نكمل حل المعادلتين كلاً على حده فنحصل على حلين
مثال (1) جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع2س^2 + 4س – 16 = صفر
بإضافة + 16 للطرفين2س^2 + 4س = 16
بالقسمة على معامل س^2 وهو 2 س^2 + 2س = 8
معامل س = 2 نصفه =1 مربعه =1
بإضافة 1 للطرفين س^2 + 2س + 1= 8 + 1
نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2 ( س + 1 )^2 = 9
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان
هما ( س + 1 )^2 = 9 س + 1 = 3
بإضافة -1 للطرفين س = 2 أو س + 1 = -3
بإضافة -1 للطرفين س = -4 مجموعة الحل : { 2 ، -4}
مثال (2) جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع س^2 - 8س + 15 = صفر
بإضافة -15 للطرفينس^2 - 8س = -15
معامل س = -8 نصفه = -4 مربعه = 16 س^2 - 8س + 16 = -15 + 16
نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2 ( س - 4 )^2 = -15 + 16 ( س - 4 )^2 = 1
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما
س – 4 = 1 بإضافة +4 للطرفين س = 5 أو س – 4 = - 1
بإضافة +4 للطرفين س = 3 مجموعة الحل = { 5 ، 3 }
مثال (3) جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع س^2 - 4س = 12
معامل س = -4 نصفه = -2 مربعه = 4
س^2 - 4س + 4 = 12 + 4
نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2 ( س - 2 )^2 = 12 + 4( س - 2 )^2 = 16
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما
س - 2 = 4 بإضافة + 2 للطرفين س = 6
أو س - 2 = -4 بإضافة + 2 للطرفين س = -2
مجموعة الحل = { 6 ، -2 }
تطبيق : جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع 4س^2 - 16س + 12 = صفر
بإضافة - 12 للطرفين4س^2 - 16س = -12
بالقسمة على معامل س2 وهو 4 س^2 - 4س = -3
معامل س = -4 نصفه = -2 مربعه = 4
س^2 - 4س + 4 = -3 + 4
نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2 ( س - 2 )^2 = 1
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما
س - 2 = 1 بإضافة + 2 للطرفين س = 3
أو س - 2 = -1 بإضافة + 2 للطرفين س = 1
مجموعة الحل = { 3 ، 1 }
تطبيق : جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع
3س^2 + 12س + 12 = صفر
بإضافة - 12 للطرفين3س^2 + 12س = -12
بالقسمة على معامل س2 وهو 3 س^2 + 4س = -4
معامل س = 4 نصفه = 2 مربعه = 4
س^2 + 4س + 4 = -4 + 4
نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2 ( س + 2 )^2 = صفر
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما
س + 2 = صفر بإضافة + 2 للطرفين س = -2
مجموعة الحل = { -2 }
ملاحظة :
المعادلة السابقة لها حلان متشابهان هما -2 و –2ويكتفى بكتابة حل واحد فقط . ( لماذا ؟ )
تطبيق :
جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع2س^2 - 12س + 20 = صفر
بإضافة - 20 للطرفين2س^2 - 12س = -20
بالقسمة على معامل س2 وهو 2 س^2 - 6س = -10
معامل س = -6 نصفه = -3 مربعه = 9
س^2 - 6س + 9 = -10 + 9
نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2 ( س - 3 )^2 = -1
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا أن المعادلة مستحيلة الحل
شرح آخر :
* الصّورة العامّة للاقتران التربيعي:
قطع مكافئ... يلزمني لأرسمه رسماً تقريبياً:
معرفة إحداثيات نقطة الرأس، وهل فتحة القطع لأعلى أم لأسفل.
1- الإحداث السّيني لنقطة الرأس =
2- بعد أن أجد قيمة س نقطة الرأس أعوّضها في المعادلة المُعطاة؛ فأجد ص نقطة الرأس.
3- أعيّن نقطة الرأس الناتجة معي على المستوى الديكارتي.
4- أنظر إلى أ في المعادلة المُعطاة؛ فإذا كانت موجبة أجعل فتحة القطع لأعلى، وإذا كانت سالبة تكون فتحة القطع لأسفل.
جرّب أن تجد بنفسك إحداثيات نقطة الرأس، واتجاه فتحة القطع... من المُعادلة.
** علينا معرفة ما يلي جيّداً:
! - يكون لكل قطع مكافئ نقطة تقسم منحناه إلى نصفين متماثلين وتسمى هذه النقطة رأس القطع، الإحداث السّيني لها هو: س =
ب - ينتهي محور تماثل القطع المكافئ في نقطة رأسه لذلك نسمّيها نقطة نهاية عظمى (إذا كانت فتحة القطع لأسفل - كالجبل) أو صغرى (إذا كانت فتحة القطع لأعلى - كالقاع).
أ - يوجد لكل قطع مكافئ محور تماثل يقسمه إلى نصفين متماثلين؛ معادلته: س =
د- لأجد نقاط تقاطع الاقتران مع محور الصّادات أعوّض س = صفر في المعادلة المُعطاة.
هـ- حلول، أو أصفار، أو جذور المعادلة (الاقتران) هي نقاط تقاطع القطع المكافىء مع محور السّينات (ص = صفر) فإذا كان المميّز موجب نقول أنّ للاقتران جذران مختلفان أي أنّه يقطع محور السّينات في نقطتين، وإذا كان المميّز صفراً يكون للاقتران جذران متساويان (تجاوزاً نقول: جذر واحد) أي أنّه يقطع محور السّينات في نقطة واحدة هي نقطة الرأس، أي أنّ قيمة الجذر =
تدريب:
أستخرج من الرّسوم التالية:
1- نقاط التقاطع مع محور ص
2- نقاط التقاطع مع محور س
3- إحداثيات نقطة الرأس.
4- معادلة محور التماثل
و- ليكون التمثيل البياني أكثر دقة أفترض نقاطاً سينيّة على يمين ويسار الإحداث السّيني لنقطة الرّأس وأعوّضها في المعادلة المعطاة لأجد ص لها، ثمّ أعيّن الأزواج المرتبة الناتجة من الفرض والتعويض على المستوى الديكارتي وأصل بينها جميعاً. أمثلة بالرّسم:
