المخروط الدائري القائم

[مہجہرد إنہسہآن]

الأهداف : عزيزي الدارس يتوقع منك بعد دراسة هذا الموضوع أن تكون قادراً على إيجاد حجم المخروط ومساحة سطحه الخارجية .

تمهيد : ذهب علي مع عائلته إلى حديقة الألعاب ، وعندما رأى علي بائع البوشار طلب منه أبوه أن يذهب ويشتري من بائع البوشار ، فأخذ من أبيه ( 100 فلس ) وذهب إلى بائع البوشار ليشتري منه ، وعندما ذهب علي إلى البائع ، وطلب منه أن يعطيه البوشار ، وضع له البائع البوشار في لفافة ورقية على الشكل التالي .
ما اسم هذا الشكل ؟ وما هو مكوناته ؟

إن هذا الشكل يدعى بالمخروط الدائري القائم . وللتعرف على مكوناته دعنا نقوم بالنشاط التالي :
1. أحضر قطعة من الورق على شكل دائرة .
2. اقتطع من تلك الورقة قطاع دائري كما في الشكل .
3. لف القطاع حتى ينطبق م أ على م ب ثم ألصق م أ مع م ب .
افتح الشكل واجعل قاعدته دائرية تحصل على شكل حجمي هو المخروط .


مفاهيم ومصطلحات خاصة بالمخروط :

1. م رأس المخروط .
2. أ م راسم المخروط وطوله (ل) .
3. القوس أ ب جـ قاعدة المخروط الدائري وطوله = محيط القاعدة .
4.م د ارتفاع المخروط ويرمز له بالرمز (ع) حيث د مركز الدائـرة التي هي قاعدة المخروط

 

[مہجہرد إنہسہآن]

الآن وقد تعرفت على أجزاء المخروط سوف نبحث معاً : أولاً : حساب مساحة سطح المخروط الدائري القائم الخارجية :
تعلم أن مساحة سطح المخروط الخارجية هي عبارة عن مساحة القطاع الدائري بالإضافة إلى مساحة القاعدة للمخروط الدائري .
ومن هذا نستنتج أن المساحة الخارجية للمخروط :
= مساحة القطاع الدائري + مساحة قاعدة المخروط
= ل نق

+ نق2

حيث ل : طول راسم المخروط . نق : نصف قطر قاعدة المخروط .
أمثلة :
1. احسب المساحة الخارجية للمخروط الدائري القائم الذي نصف قطر قاعدته 7 سم ، وارتفاعه 24 سم .
الحل : لاحظ أن المخروط الدائري القائم ، لا تعرف طول راسمه (ل) ، ولكي نتمكن من حساب طول (ل) نستخدم نظرية فيثاغورس حيث .
ل2 = نق2 + ع2 ـ ل2 = ( 24 )2 + (7)2

= 25 سم .​

ل2 = 49 + 576 = ل2 = 625 ـ ل =
والآن نعود لحساب مساحة المخروط الخارجية :
مساحة المخروط الخارجية = مساحة القطاع + مساحة القاعدة
= ل نق p + نق2 p

+ 7 × 7 ×

= 25 × 7 ×
= 25 × 22 + 22 × 7 = 550 + 154 = 704 سم2 .

2. مخروط دائري قائم طول نصف قطر قاعدته 10 سم ، وطول راسمه 30 سم احسب مساحته الخارجية.
الحل : المساحة الخارجية = مساحة القطاع الدائري + مساحة القاعدة
= نق ل p + نق2 p
= 10 × 30 × 3.14 + 10 × 10 × 3.14
= 314 × 3 + 314 = 942 + 314 = 1256 سم2 .

والآن وقد عرفنا حساب مساحة المخروط الدائري القائم بقي أن نحسب حجم المخروط الدائري القائم .​

 

[مہجہرد إنہسہآن]

أولاً : طريقة عملية للمقارنة بين حجم الأسطوانة وحجم المخروط :
(يمكنك أن تجري هذا العمل في مختبر المدرسة أو في المنزل .)
ـ الكؤوس الأسطوانية موجودة بكثرة في المختبر والمنزل ، فأين نجد المخاريط ؟ إنها موجودة أيضاً في المختبر والمنزل ، إنها الأقماع التي تستخدمها في نقل السوائل من وعاء إلى وعاء آخر .
ـ اختر قمعاً وكأساً بحيث تكون دائرة فوهة القمع = دائرة قاعدة الأسطوانة أي يكون نق لهما هو ذاته.
ـ يمكنك أن تقيس ارتفاع المخروط ( القمع ) باستخدام سلك مستقيم تماماً أو أي عمود خشب مستقيم .
ـ إذا لم يكن ارتفاع الأسطوانة( الكأس ) مساوياً لارتفاع القمع ، فاملأ الكأس إلى الحد الذي يساوي ارتفاع المخروط ( القمع ) .
ـ أغلق أنبوبة القمع بورق السلوفان أو الجيلاتين إلاّ جزءاً صغيراً جداً منها ( لماذا ) ؟؟
ـ استخدم مخباراً مدرجاً واملأ الأسطوانة بالماء . وجد حجمها وسجله على دفترك .
ـ استخدم ذات المخبار المدرج في ملء القمع وجد حجمه .
ـ كرر العمل على كؤوس وأقماع أخرى .
بالتقريب .

ـ أوجد النسبة
ـ إذا أجريت العمل بدقة ستجد أنّ :
حجم الأسطوانة = ثلاثة أمثال حجم المخروط .
ملاحظة هامة : بالطبع لن تكون نتيجة العمل بهذه الدقة ، فهنالك الكثير من مصادر الخطأ في العمل . ولكن الأرقام التي

تحصل عليها نتيجة العمل ستحقق العلاقة
لكن حجم الأسطوانة كما وجدناه = نق2

ع
نق2

ع

إذن حجم المخروط =

إن هذا العمل التجريبي على الرغـــــم من أنه يحتــــــــاج إلى
وقت طويل ويفتقـــــر كثيــراً إلى الدقــــة ، إلا أنه يمكن الدارس
من فهم هذه القوانين وبالتالي يصعب عليه نسيانها فيما بعد .​

 

[مہجہرد إنہسہآن]

أولاً : طريقة عملية للمقارنة بين حجم الأسطوانة وحجم المخروط :
(يمكنك أن تجري هذا العمل في مختبر المدرسة أو في المنزل .)
ـ الكؤوس الأسطوانية موجودة بكثرة في المختبر والمنزل ، فأين نجد المخاريط ؟ إنها موجودة أيضاً في المختبر والمنزل ، إنها الأقماع التي تستخدمها في نقل السوائل من وعاء إلى وعاء آخر .
ـ اختر قمعاً وكأساً بحيث تكون دائرة فوهة القمع = دائرة قاعدة الأسطوانة أي يكون نق لهما هو ذاته.
ـ يمكنك أن تقيس ارتفاع المخروط ( القمع ) باستخدام سلك مستقيم تماماً أو أي عمود خشب مستقيم
ـ إذا لم يكن ارتفاع الأسطوانة( الكأس ) مساوياً لارتفاع القمع ، فاملأ الكأس إلى الحد الذي يساوي ارتفاع المخروط ( القمع ) .
ـ أغلق أنبوبة القمع بورق السلوفان أو الجيلاتين إلاّ جزءاً صغيراً جداً منها ( لماذا ) ؟؟
ـ استخدم مخباراً مدرجاً واملأ الأسطوانة بالماء . وجد حجمها وسجله على دفترك .
ـ استخدم ذات المخبار المدرج في ملء القمع وجد حجمه .
ـ كرر العمل على كؤوس وأقماع أخرى .
بالتقريب .

ـ أوجد النسبة
ـ إذا أجريت العمل بدقة ستجد أنّ :
حجم الأسطوانة = ثلاثة أمثال حجم المخروط .
ملاحظة هامة : بالطبع لن تكون نتيجة العمل بهذه الدقة ، فهنالك الكثير من مصادر الخطأ في العمل . ولكن الأرقام التي

تحصل عليها نتيجة العمل ستحقق العلاقة
لكن حجم الأسطوانة كما وجدناه = نق2

ع
نق2

ع

إذن حجم المخروط =

إن هذا العمل التجريبي على الرغـــــم من أنه يحتــــــــاج إلى
وقت طويل ويفتقـــــر كثيــراً إلى الدقــــة ، إلا أنه يمكن الدارس
من فهم هذه القوانين وبالتالي يصعب عليه نسيانها فيما بعد .​

تدريبات شفهية : أجب بنفسك عما يلي :
-أسطوانة حجمها 300 سم3 ، كم حجم المخروط الذي له ذات قاعدة وارتفاع الأسطوانة ؟
-مخروط حجمه 20 سم3 ، كم حجم الأسطوانة التي لها ذات القاعدة والارتفاع ؟
-مخروط وأسطوانة لهما ذات القاعدة ومتساويان في الحجم. إذا كان ارتفاع الأسطوانة = 10 سم ، فما ارتفاع المخروط ؟

​

 

[مہجہرد إنہسہآن]

ثانياً : حجم المخروط الدائري القائم :

لحساب حجم المخروط سوف تقوم بالتجربة التالية :​

1. أحضر أسطوانة دائرية قائمة مفرغة من الداخل .​

2. أحضر مخروط دائري قائم له قاعدة الأسطوانة نفسها ، ونفس الارتفاع كما في الشكل .​

3. املأ المخروط بالرمل ثم أفرغه في الأسطوانة . وكرر العملية حتى تمتلأ الأسطوانة بالكامل ، تلاحظ أنك احتجت إلى ملء المخروط ثلاث مرات وأفرغته في الأسطوانة حتى امتلأت وهذا يدل على أن حجم الأسطوانة يساوي ثلاثة أمثال حجم المخروط المشترك معها في القاعدة والارتفاع .​

حجم الأسطوانة

أي أن حجم المخروط =
p نق2 ع .

=
أمثلة محلولة :
1. مخروط دائري قائم يشترك مع أسطوانة دائرية قائمة في الارتفاع ونصف قطر القاعدة . فإذا كان حجم الأسطوانة 3360 سم3 ، فكم حجم المخروط ؟
الحل :
حجم الأسطوانة المشترك معها بالقاعدة والارتفاع

حجم المخروط =
× 3360 = 1120 سم3 .

= 2. مخروط دائري قائم نصف قطر قاعدته 12 م وارتفاعه 15 م .
نق2 p ع

الحل : حجم المخروط =
× 12 × 12 × 3.14 × 15 = 60 × 12 × 3.14

=
= 720 × 3.14 = 2260.8 سم3 .
3. جد طول راسم مخروط قائم ، طول نصف قطر قاعدته 12 سم ، وحجمه 768 p سم3 .
الحل :
لإيجاد راسم المخروط يجب أن نعرف ارتفاع المخروط وارتفاع المخروط غير معلوم . ولكن يمكن إيجاده عن طريقة حجم المخروط . حيث :
نق2 p ع

حجم المخروط =
768=12×12 p ×ع
ـ 768 p =48 p ع

= 16 سم .​

ثم نعود لحساب طول الراسم ونستخدم نظرية فيثاغورس :
ل2 = ع2 + نق2 ـ ل2 = ( 16)2 + ( 12)2
ل2 = 256+ 144 = 400
= 20 سم .

ل =

​

 

[مہجہرد إنہسہآن]

ثانياً : حجم المخروط الدائري القائم :

مخروط نصف قطر قاعدته --- وارتفاعه --- قص على بعد --- عن رأسه كما في الشكل ، أوجد حجم الجزء ك ل م ن .

مسافة القص من الرأس ع نق 5 سم 10 سم 6سم 1 م 4 م 7م 20 سم 60 سم 18 سم​

​

حجم المخروط الكبير = ح وحدة حجم .

حجم المخروط الصغير ​

حجم ك ل م ن =​

مثال : نق = 24 سم ، ع = 20 سم ، مسافة القص عن الرأس = 10 سم .
الحل : ارتفاع المخروط الصغير= 10 سم .

​

نصف قطر المخروط الصغير ​

حجم المخروط قبل القص​

حجم المخروط الصغير (بعد القص )​

أي أن حجم المخروط الصغير

حجم المخروط الكبير .

إذن حجم الجزء ك ل م ن

حجم المخروط الأصلي .

لاحظ أن النسبة

وأن النسبة بين حجم المخروط الصغير إلى حجم المخروط الكبير

إذن يمكن أن نلخص خطوات الحل كما يلي :
أ. نجد حجم المخروط الكبيرة (ح) .
ب. نجد نسبة الارتفاع الجديد إلى الارتفاع الأصلي ولنفرضها = ل .
ج. حجم المخروط الصغير =ل3 × ح .
د. حجم الجزء غير المخروطي الناتج عن القص = ح ( 1 ـ ل3) .

يمكن وضع أسئلة بأخد البعد عن القاعدة .
يمكن وضع أسئلة بأخد نصف قطر دائرة القص .

تدريب (1) : مخروط نصف قطر قاعدته 21 سم وارتفاعه 14 سم ، قص على بعد 12 سم من قاعدته . أوجد حجم الجزء ك ل م ن .

تدريب (2) : مخروط نصف قطر قاعدته 15 سم وارتفاعه 36 سم ، قص من منطقة ما على سطحه فكان نصف قطر قاعدة المخروط الصغير الناتج = 5سم أوجد حجم الجزء ك ل م ن .
​

​